
\prob{003E}{无限嵌套根式}

求$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}}$。
\problabels{yellow/代数, green/代数求值问题}

\ans{$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}} = 2$}

\subsection{一元二次方程}

基本思路：设$x$为待求值，然后列一元二次方程求解$x$的值。

设$x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}}$，可知

\begin{align*}
  x &= \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}} \\
  x^2 &= 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}} \\
  x^2 - 2 &= \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}} \\
  x^2 - 2 &= x \\
  x^2 - x - 2 &= 0 \\
\end{align*}

是一个一元二次方程。解得$x = 2$或$x = -1$。又由于$x > 0$，所以$x = 2$。

综上，$\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt\cdots}} = 2$。
